Osaketuottojen normaaliuden testaaminen: vertailu ja simulointi Laplace-jakauman kanssa

Abstract

Normaalijakauma on kätevä tilastollisissa analyyseissä useasta syystä. Se on täysin kuvattavissa vain kahdella parametrillä: keskiarvo ja keskihajonta. Keskihajonnalla pystytään intuitiivisesti määrittämään muuttujan esiintymistodennäköisyyksiä symmetrisen käyrän alta 68–95–99,7-säännön mukaisesti. Jakauma esiintyy luonnostaan usein, sillä monet mitattavat ilmiöt taipuvat näytekoon kasvaessa normaalijakaumaan päin. Lisäksi normaalijakaumaa noudattavien muuttujien lineaariset yhdistelmät noudattavat myös normaalijakaumaa.

Rahoitusteoriassa portfolio-optimointimallit kuten moderni portfolioteoria ja CAPM perustuvat keskiarvo-varianssisääntöön. Tuotto-odotuksena pidetään tällöin historiallisten tuottojen keskiarvoa ja riskiä mitataan keskihajonnalla. Portfolion tuotto-odotus muodostetaan summaamalla yksittäisten osakkeiden tuotto-odotukset painotettuna niiden suhteellisilla osuuksilla portfoliossa. Capital Asset Pricing -mallissa systemaattista riskiä mittaava beetakerroin perustuu yksittäisen osakkeen ja markkinoiden keskihajonnan korrelaatioon. Vastaavasti tuottoa riskin, eli keskihajonnan suhteessa mitataan Sharpen luvulla, jonka maksimoimalla saadaan myös mallin mukainen optimiportfolio. Tuottojen oletetaan käytännössä siis noudattavan normaalijakaumaa.

Empiirisiä aikasarjoja pyritään usein sovittamaan paremmin normaalijakaumaan käyttämällä logaritmista tuottolaskentaa, mutta poikkeamat datassa voivat olla silti merkittäviä. Aikasarjassa saattaa esiintyä enemmän ääriarvoja, kuin normaalijakauman perusteella on odotettavissa, jolloin siihen pohjautuvat ennustamismallit eivät ole optimeja. Yksi vaihtoehto tuottojen mallintamiseen on Laplace-jakauma, jossa todennäköisyydet levittäytyvät laajemmalle keskiarvosta.

Opinnäytetyössä verrattiin ei-kokeellisella kvantitatiivisella tutkimuksella normaali- ja Laplace-jakaumia 10 vuoden logaritmisiin tuottoihin S&P500- ja OMXH25-indekseistä. Tuotto mitattiin hintamuutoksena ilman osinkoja. Jakaumia vertailtiin kuvailevalla tilastoanalyysillä vinoutta ja huipukkuutta mittaavien tunnuslukujen avulla. Graafisessa analyysissä tarkasteltiin tiheys- ja kertymäfunktioiden yhdenmukaisuutta empiiriseen dataan. Jakaumien sopivuutta mitattiin tilastollisesti Kolmogorov-Smirnovin testeillä ja simuloimalla normaali- ja Laplace-jakaumista tuotettuja aikasarjoja. KS-testi mittaa jakaumien suurimman poikkeaman tilastollista merkitsevyyttä. Laplace-jakauma vastasi analyysien perusteella paremmin empiirisiä havaintoja kuin normaalijakauma, vaikka se ei täysin onnistunut kuvaamaan ääriarvoja. Normaalijakauman osoitettiin sopivan heikosti empiiriseen dataan, eikä tutkimuksen perusteella voida katsoa osaketuottojen noudattavan sitä.